接下来我们以一个三棱锥为例，探求外接球的确定方法。
例1： 如图，三棱锥的底面 是一个等腰三角形， 且 ， 平面 且 ，求此三棱锥的外接球的表面积。
解答：
Step1:首先做出底面三角形的外接圆 ，则易知 ，即圆 半径 ；
Step2:接下来作过 垂直于底面的直线 ，则球心 一定在 上；
Step3:接下来确定球心 的具体位置，考虑到其应还满足 ，所以取 ， 与 在平面 同侧即可；
Step4:则三棱锥的外接球半径 ；
Step5:表面积。
归纳概括：此类问题的通法是做出过每个面外接圆圆心的垂线，那么它们的交点就是球心的位置。大家不必担心它们不会交到一点，因为如果不交于一点的话几何体的外接球是不存在的。但是我们实际操作中往往会觉得想算出空间中两条直线的交点比较有困难，更何况是从此出发再去求半径。我们往往是在过每个面外接圆圆心的垂线上确定一点使得其到其余点的距离等于到此平面内的点(比如在此题中是在过 的外接圆圆心的垂线 上确定一点 使得 )。
我们把过一个面外接圆圆心的垂线称为它的面外垂线。以后遇到外接球问题都可以在面外垂线上找点来确定球心，而且一般优先顺序是直角三角形>等边三角形>等腰三角形>普通三角形，为何？想想确定外接圆圆心的难易程度就清楚了。
接下来介绍几个常用的求外接球的办法。
1.长方体的外接球：
长方体的外接球球心为体对角线的中点，所以设长方体边长为 ，则其外接球半径 2.正方体
2.1正方体的外接球
和长方体类似，正方体的外接球球心为体对角线的中点，
所以设正方体边长为 ，则其外接球半径
2.2正方体的棱切球
正方体的棱切球球心为体对角线的中点，半径为球心到各棱的距离（将正方体想象成一个无面的框架，则球与各棱相切）。
所以设正方体边长为 ，则其棱切球半径 。其各个方向的视图如下
2.3正方体的内切球
正方体的内切球球心为体对角线的中点，内切球到各面的距离相等。
所以设正方体边长为 ，则其内切球半径 ，其各个方向视图如下：
3.正四面体
我们可以把正四面体置于正方体之中（大家务必掌握二者之间的关系）
于是正四面体的中心就是正方体的中心，就是正方体对角线的中点。正方体边长为正四面体边长的 倍。
3.1正四面体的外接球
正四面体和正方体有着相同的外接球。
（虚线有点多，仔细看，仔细想）所以设正方体边长为 ，则正四面体外接球半径 。实际应用时要先根据正四面体的边长算出正方体边长 。
3.2正四面体的棱切球
正四面体棱切球的半径为球心到各棱的距离，所以正四面体的棱切球就是正方体的内切球。
所以设正方体边长为 ，则正四面体棱切球半径 。实际应用时要先根据正四面体的边长算出正方体边长 。
3.3正四面体的内切球
正四面体内切球的半径为球心到正四面体各面的距离（这个距离等于正方体对角线长度的 ，需要记忆）
觉得图形看不来的童鞋可以看看下面这个视频
所以设正方体边长为 ，则正四面体内切球半径 。实际应用时要先根据正四面体的边长算出正方体边长 。
4.棱锥（侧棱与底面垂直）
根据例1，我们先求出棱锥底面的外接圆半径 ，结合棱锥的高为 ，则棱锥的外接球半径 。
5.直棱柱
和棱锥（侧棱与底面垂直）一样，直棱柱先求出底面的外接圆半径 ，结合棱柱的高为 ，则直棱柱的外接球半径 。
6.正棱锥
正棱锥外接球的球心在其高线上，到上顶点的距离等于到底面的距离。
设正棱锥侧棱长为 ，底面外接圆半径为 ，则在直角三角形 中，相当于斜边长 ，直角边 ，在直角边 上取一点 ，使得 ，并求出 长。
解：设 ，则
，则
联立(1)(2)消去 解得 。
设正棱锥侧棱长为 ，底面外接圆半径为 ，则其外接球半径为 。
7.圆锥
设圆锥高为 ，母线长为 ，则与6类似可得其外接球半径为 。
注意6、7中可能并不直接有 这两个量，需要先计算得到，再代入公式。
8.三组对棱两两相等的三棱锥
三棱锥三组对棱长分别为 ，则其外接球半径？
将此三棱锥可置于一个长方体中，
设长方体的长宽高分别为 ，则
则三式相加整理得 ，所以三棱锥的外接球半径 返回搜狐，查看更多